Question

5．函數(shù)f（x）=asin（2x+φ）+cos（2x+φ），（a＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的最大值為2，且f（-x）=f（x），則a，φ的取值分別為（　�。�

• A． a=1，φ=$\frac{π}{3}$
• B． a=1，φ=$\frac{π}{6}$
• C． a=$\sqrt{3}$，φ=$\frac{π}{3}$
• D． a=$\sqrt{3}$，φ=$\frac{π}{6}$

Answer 1

分析 由條件利用輔助角公式化簡函數(shù)的解析式，再利用三角函數(shù)的最值求得a，利用三角函數(shù)的奇偶性、誘導公式求得φ的值，從而得出結(jié)論．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=asin（2x+φ）+cos（2x+φ）=$\sqrt{{a}^{2}+1}$sin（2x+φ+θ） （a＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的最大值為2，
其中，cosθ=$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$，sinθ=$\frac{1}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$，故$\sqrt{{a}^{2}+1}$=2，故a=$\sqrt{3}$．
可得 cosθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，sinθ=$\frac{1}{2}$，故可取θ=$\frac{π}{6}$，f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+φ+$\frac{π}{6}$）．
再由f（-x）=f（x），可得f（x）為偶函數(shù)，故φ+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，∴φ=$\frac{π}{3}$．
故選：C．

點評 本題主要考查輔助角公式，三角函數(shù)的奇偶性，誘導公式，屬于基礎(chǔ)題．