Question

16．已知a＞0，b＞0．求證：$\frac{（a+b）^{2}}{2}$+$\frac{a+b}{4}$≥a$\sqrt$+b$\sqrt{a}$（等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)a=b=$\frac{1}{4}$）．

Answer 1

分析 可將$\frac{（a+b）^{2}}{2}+\frac{a+b}{4}$拆成$（\frac{{a}^{2}}{2}+\frac{8}）+（\frac{^{2}}{2}+\frac{a}{8}）+（\frac{ab}{2}+\frac{a}{8}）+（\frac{ab}{2}+\frac{8}）$，對(duì)于每一項(xiàng)應(yīng)用基本不等式，并判斷等號(hào)成立的條件，這樣即可得出要證明的結(jié)論．

解答 證明：$\frac{（a+b）^{2}}{2}+\frac{a+b}{4}$=$（\frac{{a}^{2}}{2}+\frac{8}）+（\frac{^{2}}{2}+\frac{a}{8}）+（\frac{ab}{2}+\frac{a}{8}）+（\frac{ab}{2}+\frac{8}）$；
∵$\frac{{a}^{2}}{2}+\frac{8}≥\frac{1}{2}a\sqrt$，當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{{a}^{2}}{2}=\frac{8}$，即b=4a²時(shí)取“=”；
$\frac{^{2}}{2}+\frac{a}{8}≥\frac{1}{2}b\sqrt{a}$，當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{^{2}}{2}=\frac{a}{8}$，即a=4b²時(shí)取“=”；
$\frac{ab}{2}+\frac{a}{8}≥\frac{1}{2}a\sqrt$，當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{ab}{2}=\frac{a}{8}$，即b=$\frac{1}{4}$時(shí)取“=”；
$\frac{ab}{2}+\frac{8}≥\frac{1}{2}b\sqrt{a}$，當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{ab}{2}=\frac{8}$，即a=$\frac{1}{4}$時(shí)取“=”；
∴$（\frac{{a}^{2}}{2}+\frac{8}）+（\frac{^{2}}{2}+\frac{a}{8}）+（\frac{ab}{2}+\frac{a}{8}）$$+（\frac{ab}{2}+\frac{8}）≥a\sqrt+b\sqrt{a}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=$\frac{1}{4}$時(shí)等號(hào)成立；
即$\frac{（a+b）^{2}}{2}+\frac{a+b}{4}≥a\sqrt+b\sqrt{a}$，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)$a=b=\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 考查基本不等式的應(yīng)用，清楚應(yīng)用基本不等式的前提條件，以及等號(hào)成立的條件，不等式的性質(zhì)，拆項(xiàng)法的應(yīng)用．