Question

已知實數(shù)x，y滿足3^x+3^y=9^x+9^y，則

27x+27y

3x+3y

的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：有理數(shù)指數(shù)冪的化簡求值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：設(shè)3^x+3^y=t，由題設(shè)條件結(jié)合基本不等式得t的范圍，將所求化簡為-

1

2

t²+

3

2

t，利用二次函數(shù)區(qū)間的最值求范圍．

解答： 解：設(shè)3^x+3^y=t≥2

3x+y

，∴3^x+y≤

t2

4

，
又3^x+3^y=9^x+9^y=（3^x+3^y）²-2×3^x+y，∴3^x+y=

t2-t

2

＞0，∴t＞1；
∴

t2-t

2

≤

t2

4

即t²-2t≤0，解得0≤t≤2；
∴1＜t≤2；
由已知，

27x+27y

3x+3y

=

(3x+3y)(9x-3x+y+9y)

3x+3y

=9x-3x+y+9y=3^x+3^y-3^x+y=t-

t2-t

2

=-

1

2

t²+

3

2

t=-

1

2

（t-

3

2

）²+

9

8

，
∴t=

3

2

時，

27x+27y

3x+3y

的最大值為

9

8

；t=1時

27x+27y

3x+3y

的最小值為1；
所以

27x+27y

3x+3y

的取值范圍是（1，

9

8

]．
故答案為：（1，

9

8

]．

點評：本題考查了繁分式的化簡；關(guān)鍵是由已知得到t的范圍，借助于二次函數(shù)求最值，屬于難題．