Question

4．判斷直線ρcos（θ-$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$與圓ρ=4cosθ的位置關(guān)系，如果相交，求出直線被圓截得的線段的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 求出直線的直角坐標(biāo)方程和圓的直角坐標(biāo)方程，求出圓的圓心（2，0），半徑r=2和圓心（2，0）到直線的距離d，由d＜r，得直線與圓相交，利用勾股定理能求出直線被圓截得的線段的長(zhǎng)度．

解答 解：直線ρcos（θ-$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$，即$\frac{1}{2}ρcosθ+\frac{\sqrt{3}}{2}ρsinθ-\frac{1}{2}$=0的直角坐標(biāo)方程為$\frac{1}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}y-\frac{1}{2}=0$，
圓ρ=4cosθ，即ρ²=4ρcosθ的直角坐標(biāo)方程為（x-2）²+y²=4，
圓的圓心（2，0），半徑r=2，
圓心（2，0）到直線的距離d=$\frac{|\frac{1}{2}×2+0-\frac{1}{2}|}{\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}}$=$\frac{1}{2}$，
∵d＜r，∴直線與圓相交，
直線被圓截得的線段的長(zhǎng)度|AB|=$2\sqrt{{r}^{2}-yl901x2^{2}}$=2$\sqrt{4-\frac{1}{4}}$=$\sqrt{15}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系的判斷，考查直線被圓截得得線段長(zhǎng)的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)互化公式的合理運(yùn)用．