【題目】已知函數(shù).
(1)試判斷函數(shù)的單調(diào)性;
(2)設(shè),求在上的最大值;
(3)試證明:對任意的,不等式成立.
【答案】(1)函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減(2)(3)見解析
【解析】
(1)先求導(dǎo),再根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可求出;(2)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系,分類討論即可;(3)根據(jù)(1)知當(dāng)時(shí),,根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值即可證明.
(1)函數(shù)的定義域是.由已知.
令,得.
因?yàn)楫?dāng)時(shí),;
當(dāng)時(shí),.
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
(2)由1問可知當(dāng),即時(shí),在上單調(diào)遞增,
所以.
當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,所以.
當(dāng),即時(shí),.
綜上所述,
(3)由(1)問知當(dāng)時(shí).
所以在時(shí)恒有,
即,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.
因此對任意恒有.
因?yàn)?/span>,,所以,即.
因此對任意,不等式.
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【題目】已知曲線C:x2+y2+2kx+(4k+10)y+10k+20=0,其中k≠-1.
(1)求證:曲線C都表示圓,并且這些圓心都在同一條直線上;
(2)證明:曲線C過定點(diǎn);
(3)若曲線C與x軸相切,求k的值.
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【題目】已知Sn是正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,滿足a1=2,anan+1=6Sn﹣2,n∈N*.
(1)求證:{an}是等差數(shù)列;
(2)記bn=2n,求數(shù)列{|an﹣bn|}的前n項(xiàng)和Tn.
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【題目】(1)用籬笆圍一個(gè)面積為的矩形菜園,當(dāng)這個(gè)矩形的邊長為多少時(shí),所用籬笆最短?最短籬笆的長度是多少?
(2)用一段長為的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園,當(dāng)這個(gè)矩形的邊長為多少時(shí),菜園的面積最大?最大面積是多少?
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(1)求證:f(x)是R上的單調(diào)減函數(shù).
(2)求f(x)在[-3,3]上的最小值.
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【題目】已知學(xué)校有15位數(shù)學(xué)老師,其中9位男老師,6位女老師,學(xué)校有10位數(shù)學(xué)老師,其中3位男老師,7位女老師,為了實(shí)現(xiàn)師資均衡,現(xiàn)從學(xué)校任意抽取一位數(shù)學(xué)老師到學(xué)校,然后從學(xué)校隨機(jī)抽取一位數(shù)學(xué)老師到市里上公開課,則在學(xué)校抽到學(xué)校的老師是男老師的情況下,從學(xué)校抽取到市里上公開課的也是男老師的概率是( )
A.B.C.D.
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【題目】小蔡參加高二1班“美淘街”舉辦的幸運(yùn)抽獎(jiǎng)活動(dòng),活動(dòng)規(guī)則如下:盒子里裝有六個(gè)大小相同的小球,分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6,小蔡需從盒子里隨機(jī)不放回地抽取3次,每次抽取1個(gè)小球,按抽取順序分別作為一個(gè)三位數(shù)的百位、十位與個(gè)位.
(1)一共能組成多少個(gè)不同的三位數(shù)?
(2)若組成的三位數(shù)是大于500的偶數(shù),則可以獲獎(jiǎng),求小蔡獲獎(jiǎng)的概率.
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【題目】下圖是某省從1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增確診病例變化曲線圖.
若該省從1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增確診人數(shù)按日期順序排列構(gòu)成數(shù)列,的前n項(xiàng)和為,則下列說法中正確的是( )
A.數(shù)列是遞增數(shù)列B.數(shù)列是遞增數(shù)列
C.數(shù)列的最大項(xiàng)是D.數(shù)列的最大項(xiàng)是
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【題目】(本小題滿分12分)
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(1)求的單調(diào)區(qū)間;
(2)若設(shè),且有兩個(gè)極值點(diǎn) ,求取值范圍.(其中e為自然對數(shù)的底數(shù)).
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