Question

10．已知函數(shù)f（x）的定義域為{x|x≠1}，且f（x+1）為奇函數(shù)，當x＞1時，f（x）=2x²-12x+16，則直線y=2與函數(shù)f（x）的圖象的所有交點的橫坐標之和為（　　）

• A． 5
• B． 4
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 f（x+1）為奇函數(shù)可得函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于（1，0）對稱，從而可求x＜1時的函數(shù)解析式，進而解方程f（x）=2可得．

解答 解：∵f（x+1）為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于（0，0）對稱，
∵函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于（1，0）對稱，
∴f（x）=-f（2-x），即f（2-x）=-f（x）
又∵當x＞1時，f（x）=2x²-12x+16，
∴當x＜1時，2-x＞1，
∴此時f（2-x）=2（2-x）²-12x（2-x）16，
f（x）=-[2（2-x）²-12（2-x）+16]=-2x²-4x，
令2x²-12x+16=2，
可得x₁=3+$\sqrt{2}$，x₂=3-$\sqrt{2}$，x₁+x₂=6，
令-2x²-4x=2可得x₃=-1，
橫坐標之和為5，
故選：A

點評 本題主要考查了函數(shù)的平移、奇函數(shù)的對稱性，利用對稱性求函數(shù)在對稱區(qū)間上的解析式．屬于基礎(chǔ)知識的綜合運用，但難度都不大，只要掌握基本知識、基本方法，就可解題．