Question

8．已知函數(shù)f（x）=lnx-a，若f（x）＜x²在（1，+∞）上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． [-1，+∞）
• B． （1，+∞）
• C． [1，+∞）
• D． （-1，+∞）

Answer 1

分析 利用參數(shù)分類法，轉(zhuǎn)化求函數(shù)的最值問題，構(gòu)造函數(shù)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法進(jìn)行求解即可．

解答 解：若f（x）＜x²在（1，+∞）上恒成立，
則等價(jià)為lnx-a＜x²在（1，+∞）上恒成立，
即lnx-x²＜a在（1，+∞）上恒成立，
設(shè)h（x）=lnx-x²，
則h′（x）=$\frac{1}{x}$-2x=$\frac{1-2{x}^{2}}{x}$，
當(dāng)x≥1時(shí)，h′（x）＜0，即h（x）在[1，+∞）上為減函數(shù)，
則當(dāng)x＞1時(shí)，h（x）＜h（1）=1-2=-1，
則a≥-1，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式恒成立問題，利用參數(shù)分離法以及構(gòu)造法是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)．