Question

10．已知向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$sinx，-1），$\overrightarrow$=（cosx，m），m∈R．
（1）若m=$\sqrt{3}$，且$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，求$\frac{3sinx-cosx}{sinx+cosx}$的值；
（2）已知函數(shù)f（x）=2（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•$\overrightarrow$-2m²-1，若函數(shù)f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上有零點(diǎn)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）可得出向量$\overrightarrow$的坐標(biāo)，根據(jù)$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow$及平行向量的坐標(biāo)關(guān)系即可得出cosx=3sinx，從而便可得出$\frac{3sinx-cosx}{sinx+cosx}$的值；
（2）可先求出$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$的坐標(biāo)，然后進(jìn)行向量坐標(biāo)的數(shù)量積運(yùn)算，并由二倍角的正余弦公式及兩角和的正弦公式即可得到$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）-2m$，從而得出$m=sin（2x+\frac{π}{6}）$，而可以求出sin（2x+$\frac{π}{6}$）在$[0，\frac{π}{2}]$的范圍，從而可得出m的取值范圍．

解答 解：（1）$m=\sqrt{3}$時(shí)，$\overrightarrow=（cosx，\sqrt{3}）$；
又$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow$；
∴3sinx+cosx=0；
∴cosx=-3sinx；
∴$\frac{3sinx-cosx}{sinx+cosx}=\frac{6sinx}{-2sinx}=-3$
（2）$f（x）=2（\sqrt{3}sinx+cosx，m-1）•（cosx，m）$-2m²-1
=$\sqrt{3}sin2x+cos2x+1+2{m}^{2}-2m-$2m²-1
=$2sin（2x+\frac{π}{6}）-2m$
根據(jù)題意，方程$2sin（2x+\frac{π}{6}）-2m=0$有解；
即m=$sin（2x+\frac{π}{6}）$有解；
∵$x∈[0，\frac{π}{2}]$；
∴$2x+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}]$
∴$sin（2x+\frac{π}{6}）∈[-\frac{1}{2}，1]$；
∴m的取值范圍為$[-\frac{1}{2}，1]$．

點(diǎn)評(píng) 考查向量坐標(biāo)的加法和數(shù)量積的運(yùn)算，向量平行時(shí)坐標(biāo)的關(guān)系，以及二倍角的正余弦公式，兩角和的正弦公式，以及不等式的性質(zhì)，函數(shù)零點(diǎn)的定義，正弦函數(shù)的圖象．