Question

19．已知正數(shù)x，y滿足x+2$\sqrt{2xy}$≤λ（x+y）恒成立，則實數(shù)λ的最小值為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 利用參數(shù)分離法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，利用換元法以及導數(shù)進行求解即可．

解答 解：∵不等式x+2$\sqrt{2xy}$≤λ（x+y）對一切正數(shù)x、y恒成立，
∴等價為λ≥$\frac{x+2\sqrt{2xy}}{x+y}$=$\frac{1+2\sqrt{2•\frac{y}{x}}}{1+\frac{y}{x}}$，
設y=$\frac{1+2\sqrt{2•\frac{y}{x}}}{1+\frac{y}{x}}$，
設t²=$\frac{y}{x}$，（t＞0），
則函數(shù)等價為f（t）=$\frac{1+2\sqrt{2}t}{1+{t}^{2}}$．
則函數(shù)的導數(shù)f′（t）=$\frac{2\sqrt{2}t（1+{t}^{2}）-（1+2\sqrt{2}t）2t}{（1+{t}^{2}）^{2}}$=$-\frac{-2\sqrt{2}（{t}^{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}t-1）}{（1+{t}^{2}）^{2}}$，
由f′（t）=0，解得t=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，則當t=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，函數(shù)f（x）取得極大值同時也是最大值，
則f（t）=f（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=$\frac{1+2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}}{1+（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}=2$，
∴λ≥2．
故λ的最小值為2．
故選B．

點評 本題主要考查不等式恒成立問題，利用參數(shù)分離法以及換元法，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值是解決本題的關鍵．綜合性較強，運算量較大．