Question

12．在如圖所示的幾何體中，四邊形CDPQ為矩形，四邊形ABCD為直角梯形，且∠BAD=∠ADC=90°，平面CDPQ⊥平面ABCD，AB=AD=$\frac{1}{2}$CD=1，PD=$\sqrt{2}$．
（1）若M為PA的中點(diǎn)，求證：AC∥平面DMQ；
（2）求平面PAD與平面PBC所成的銳二面角的大�。�

Answer 1

分析 （1）連結(jié)CP交QD于點(diǎn)N，連結(jié)MN，通過(guò)中位線定理可得結(jié)論；
（2）以D為原點(diǎn)，以DA、DC、DP所在直線分別為x、y、z軸建立坐標(biāo)系，則所求二面角即為平面PBC的一個(gè)法向量與平面PAD的一個(gè)法向量的夾角，計(jì)算即可．

解答 （1）證明：連結(jié)CP交QD于點(diǎn)N，連結(jié)MN，
∵四邊形CDPQ為矩形，∴N為CP的中點(diǎn)，
又∵M(jìn)為PA的中點(diǎn)，∴MN為△ACP的中位線，
∴MN∥AC，∴AC∥平面DMQ；
（2）解：∵∠BAD=∠ADC=90°，平面CDPQ⊥平面ABCD，
∴DA、DC、DP兩兩垂直，
如圖，以D為原點(diǎn)，以DA、DC、DP所在直線分別為x、y、z軸建立坐標(biāo)系，
∵AB=AD=$\frac{1}{2}$CD=1，PD=$\sqrt{2}$，
∴P（0，0，$\sqrt{2}$），B（1，1，0），C（0，2，0），
∴$\overrightarrow{PB}$=（1，1，-$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{PC}$=（0，2，-$\sqrt{2}$），
設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PC}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PB}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{2y-\sqrt{2}z=0}\\{x+y-\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$，
令z=$\sqrt{2}$，得$\overrightarrow{m}$=（1，1，$\sqrt{2}$），
又$\overrightarrow{n}$=（0，1，0）為平面PAD的一個(gè)法向量，
∴$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{1+1+2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴平面PAD與平面PBC所成的銳二面角的大小為60°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間線面位置關(guān)系的判斷及求二面角，考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力及推理論證能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．