Question

3．如圖，已知四棱錐的側(cè)棱PD⊥底面ABCD，且底面ABCD是直角梯形，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=$\frac{1}{2}$CD=2，點(diǎn)M在側(cè)棱上．
（1）求證：BC⊥平面BDP；
（2）若側(cè)棱PC與底面ABCD所成角的正切值為$\frac{1}{2}$，點(diǎn)M為側(cè)棱PC的中點(diǎn)，求異面直線BM與PA所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）證明BD⊥BC，PD⊥BC，即可證明BC⊥平面BDP；
（2）取PD中點(diǎn)為N，并連結(jié)AN，MN，則∠PAN即異面直線BM與PA所成角，在△PAN中，利用余弦定理，即可求出異面直線BM與PA所成角的余弦值．

解答 （1）證明：由已知可算得$BD=BC=2\sqrt{2}$，∴BD²+BC²=16=DC²，
故BD⊥BC，
又PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，故PD⊥BC，
又BD∩PD=D，所以BC⊥平面BDP；…6分
（2）解：如圖，取PD中點(diǎn)為N，并連結(jié)AN，MN，BM∥AN，
則∠PAN即異面直線BM與PA所成角；
又PA⊥底面ABCD，∴∠PCD即為PC與底面ABCD所成角，
即$tan∠PCD=\frac{1}{2}$，∴$PD=\frac{1}{2}CD=2$，即$PN=\frac{1}{2}PD=1$，
又$AN=\sqrt{5}$，$PA=2\sqrt{2}$，則在△PAN中，$cos∠PAN=\frac{{A{P^2}+A{N^2}-P{N^2}}}{2AP•AN}=\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$，
即異面直線BM與PA所成角的余弦值為$\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$．…12分．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直，考查異面直線BM與PA所成角的余弦值，考查學(xué)生的計(jì)算能力，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．