Question

15．已知函數(shù)f（x）=|x+1|-|x-3|．
（Ⅰ）畫出函數(shù)f（x）的圖象；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥$\frac{|3m+1|-|1-m|}{|m+1|}$對任意實數(shù)m≠-1，求實數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運用絕對值的含義，對x討論，分x＞3，-1≤x≤3，x＜-1，去掉絕對值，畫出圖象即可；
（Ⅱ）運用絕對值不等式的性質(zhì)，可得不等式右邊的最大值為2，再由不等式恒成立思想可得f（x）≥2，再由去絕對值的方法，即可解得x的范圍．

解答 解：（Ⅰ）由零點分段法，
得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-4，x＜-1}\\{2x-2．-1≤x≤3}\\{4，x＞3}\end{array}\right.$，
函數(shù)f（x）的圖象如圖所示：
（Ⅱ）$\frac{|3m+1|-|1-m|}{|m+1|}$≤$\frac{|3m+1+1-m|}{|m+1|}$=2，
當(dāng)且僅當(dāng)（3m+1）（1-m）≤0，
且|3m+1|≥|1-m|，m≠-1，
即m≥1或m＜-1時，取等號，
由不等式f（x）≥$\frac{|3m+1|-|1-m|}{|m+1|}$對任意實數(shù)m≠=-1恒成立，得|x+1|-|x-3|≥2，
由（Ⅰ）中圖象，可知x≥2，
所以實數(shù)x的取值范圍是{x|x≥2}

點評 本題考查絕對值不等式的解法，同時考查不等式恒成立問題的求法，運用分類討論的思想方法和絕對值不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．