Question

已知函數f（x）=lnx+x²+mx．
（Ⅰ）當m=-3時，求函數f（x）的極值；
（Ⅱ）若函數f（x）在定義域內為增函數，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值,利用導數研究函數的單調性

專題：綜合題,導數的概念及應用

分析：（Ⅰ）確定函數f（x）的定義域為（0，+∞），求導函數，確定函數的單調性，從而可求函數的極小值；
（Ⅱ）求導函數，函數f（x）在定義域內為增函數，轉化為2x²-mx+1≥0在（0，+∞）上恒成立，分離參數，利用基本不等式求最值，即可求實數m的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）的定義域為（0，+∞），f′(x)=

1

x

+2x+m，
m=-3時，f′(x)=

2x2-3x+1

x

=

(2x-1)(x-1)

x

=0，得x=

1

2

或x=1．
f'（x），f（x）隨x的變化情況如下表：

x	(0， 1 2 )	1 2	( 1 2 ，1)	1	（1，+∞）
f'（x）	+		-		+
f（x）	增		減		增

f(x)極大值=f(

1

2

)=-ln2-

5

4

，f（x）_極小值=f（1）=-2．
（Ⅱ）函數f（x）在定義域內為增函數，
∴x＞0時，f，（x）=

1

x

+2x+m≥0恒成立，
∴m≥-（

1

x

+2x）（其中x＞0）恒成立；
∵x＞0，∴

1

x

+2x≥2

2

（當且僅當x=

2

2

時取等號），
∴-（

1

x

+2x）_max=-2

2

，
∴m≥-2

2

．

點評：本題考查了利用導數求函數的極值，函數與不等式的應用，屬于中檔題．