Question

2．已知變量x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x-y≥0}\\{4x-y-4≤0}\\{x≥a}\end{array}\right.$，點(diǎn)（x，y）對(duì)應(yīng)的區(qū)域的面積為$\frac{25}{24}$，則x²+y²的取值范圍是（　　）

• A． [$\frac{1}{2}$，$\frac{9}{4}$]
• B． [$\frac{1}{4}$，$\frac{9}{4}$]
• C． [$\frac{1}{4}$，$\frac{32}{9}$]
• D． [$\frac{1}{4}$，$\frac{17}{4}$]

Answer 1

分析 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)面積公式先求出a的值，利用z的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答 解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{x=a}\end{array}\right.$得C（a，a），由$\left\{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{4x-y-4=0}\end{array}\right.$解得A（$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{x=a}\\{4x-y-4=0}\end{array}\right.$解得B（a，4a-4）．
變量x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x-y≥0}\\{4x-y-4≤0}\\{x≥a}\end{array}\right.$，點(diǎn)（x，y）對(duì)應(yīng)的區(qū)域的面積為$\frac{25}{24}$，
可得：$\frac{1}{2}×（4-3a）×（\frac{4}{3}-a）$=$\frac{25}{24}$．解得a=$\frac{1}{2}$或a=$\frac{13}{6}$舍去．
則x²+y²的幾何意義是可行域內(nèi)的點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的距離的平方，B（$\frac{1}{2}$，-2），可得AO=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，BO=$\frac{\sqrt{17}}{2}$，則AO²=$\frac{32}{9}$．BO²=$\frac{17}{4}$，
x²+y²的最小值為：$\frac{1}{4}$．
則x²+y²的取值范圍是：$[\frac{1}{4}，\frac{17}{4}]$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，根據(jù)三角形的面積，求出a的值，然后利用z的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．