Question

11．已知函數(shù)f（x）=x³-ax²+bx+c．
（1）若f（x）在（-∞，+∞）上不單調(diào)，試判斷a²與3b的大小關(guān)系；
（2）若f（x）在x=1時取得極值為c-$\frac{3}{2}$，且x∈[-1，2]時，c²＞f（x）恒成立，求c的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合f（x）在（-∞，+∞）是不單調(diào)函數(shù)，可得f′（x）=0有兩個不同的實數(shù)根，由△=4a²-12b＞0，可得a²＞3b；
（2）由題意可得關(guān)于a，b的方程組，求出a，b的值，列表可得當(dāng)x∈[-1，2]時，f（x）的最大值位2+c，把x∈[-1，2]時，c²＞f（x）恒成立轉(zhuǎn)化為c²＞2+c求解．

解答 解：（1）由f（x）=x³-ax²+bx+c，得f′（x）=3x²-2ax+b，
∵f（x）在（-∞，+∞）是不單調(diào)函數(shù)，
∴f′（x）=0有兩個不同的實數(shù)根，即3x²-2ax+b=0有兩個不同的實數(shù)根．
∴△=4a²-12b＞0，可得a²＞3b；
（2）由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=3-2a+b=0}\\{f（1）=1-a+b+c=c-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$．
∴f′（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1）．
列表分析最值：

x	-1	（-1，$-\frac{2}{3}$）	$-\frac{2}{3}$	（$-\frac{2}{3}$，1）	1	（1，2）	2
f（x）		+	0	-	0	+
	$\frac{1}{2}$+c	遞增	極大值$\frac{22}{27}$+c	遞減	極小值$-\frac{3}{2}$+c	遞增	2+c

∴當(dāng)x∈[-1，2]時，f（x）的最大值為f（2）=2+c，
∵對x∈[-1，2]時，f（x）＜c²恒成立，
∴c²＞2+c，解得c＜-1或c＞2，
故c的取值范圍為（-∞，-1）∪（2，+∞）．

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，考查恒成立問題的求解方法，是中檔題．