Question

已知x≥0，y≥0，且x+y=1，則

1

x+1

+

4

y+1

的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由已知x≥0，y≥0，且x+y=1，可得0≤x≤1，y=1-x．代入可得

1

x+1

+

4

y+1

=

1

x+1

+

4

2-x

=f（x），再利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出．

解答： 解：∵x≥0，y≥0，且x+y=1，
∴0≤x≤1，y=1-x．
∴

1

x+1

+

4

y+1

=

1

x+1

+

4

2-x

=f（x），
∴f′（x）=

-1

(x+1)2

+

4

(2-x)2

=

3x(x+4)

(x+1)2(2-x)2

≥0，
∴函數(shù)f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增．
∴當(dāng)x=0時(shí)，f（x）取得極小值即最小值3．
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，屬于基礎(chǔ)題．