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16.如圖,設(shè)斜率為k(k>0)的直線l與橢圓C:x29+y23=1交于A、B兩點,且OA⊥OB.
(Ⅰ)求直線l在y軸上的截距(用k表示);
(Ⅱ)求△AOB面積取最大值時直線l的方程.

分析 (Ⅰ)設(shè)l:y=kx+t,A(x1,y1),B(x2,y2),由OA⊥OB,得(1+k2)x1x2+kt(x1+x2)+t2=0,聯(lián)立{y=kx+tx29+y23=1,得x2+3(kx+t)2=9,即(1+3k2)x2+6ktx+3t2-9=0,由此利用韋達(dá)定理、根的判別式,結(jié)合已知條件能求出直線l在y軸上的截距.
(Ⅱ)設(shè)△AOB的面積為S,O到直線l的距離為d,則S=12|AB|•d,由此利用點到直線的距離公式和弦長公式能求出△AOB面積取最大值時直線l的方程.

解答 解:(Ⅰ)設(shè)l:y=kx+t,A(x1,y1),B(x2,y2),
∵斜率為k(k>0)的直線l與橢圓C:x29+y23=1交于A、B兩點,且OA⊥OB,
∴∠AOB=90°,∴OAOB=0
∴x1x2+(kx1+t)(kx2+t)=0,∴(1+k2)x1x2+kt(x1+x2)+t2=0,(*)
聯(lián)立{y=kx+tx29+y23=1,消去y,得x2+3(kx+t)2=9,即(1+3k2)x2+6ktx+3t2-9=0,
x1+x2=6kt1+3k2,x1x2=3t291+3k2,且△>0,代入(*)
從而得(1+k2)(3t2-9)-6k2t2+t2(1+3k2)=0,∴3t2-9-9k2+t2=0,
t2=941+k2,∴t=±321+k2,
∴直線l在y軸上的截距為321+k2或-321+k2
(Ⅱ)設(shè)△AOB的面積為S,O到直線l的距離為d,則S=12|AB|•d,
而由(1)知d=|t|k2+1=32,且|AB|=k2+1x1+x224x1x2
=1+k2×36k2t21+3k2243t291+3k2=k2+11+3k2×31+9k2=3k2+11+9k21+3k2,
S=94×1+49k2+1k2+694×1+13=332,
當(dāng)Smax=323時,9k2=1k2,解得k=33,∴t=±3
∴所求直線方程為y=33x+3或y=33x3

點評 本題考查直線在y軸上的截距的求法,考查直線方程的求法,是中檔題,解題時要認(rèn)真審題,注意韋達(dá)定理、根的判別式、點到直線的距離公式和弦長公式、橢圓性質(zhì)的合理運用.

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