分析 (Ⅰ)設(shè)l:y=kx+t,A(x1,y1),B(x2,y2),由OA⊥OB,得(1+k2)x1x2+kt(x1+x2)+t2=0,聯(lián)立{y=kx+tx29+y23=1,得x2+3(kx+t)2=9,即(1+3k2)x2+6ktx+3t2-9=0,由此利用韋達(dá)定理、根的判別式,結(jié)合已知條件能求出直線l在y軸上的截距.
(Ⅱ)設(shè)△AOB的面積為S,O到直線l的距離為d,則S=12|AB|•d,由此利用點到直線的距離公式和弦長公式能求出△AOB面積取最大值時直線l的方程.
解答 解:(Ⅰ)設(shè)l:y=kx+t,A(x1,y1),B(x2,y2),
∵斜率為k(k>0)的直線l與橢圓C:x29+y23=1交于A、B兩點,且OA⊥OB,
∴∠AOB=90°,∴→OA•→OB=0,
∴x1x2+(kx1+t)(kx2+t)=0,∴(1+k2)x1x2+kt(x1+x2)+t2=0,(*)
聯(lián)立{y=kx+tx29+y23=1,消去y,得x2+3(kx+t)2=9,即(1+3k2)x2+6ktx+3t2-9=0,
則x1+x2=−6kt1+3k2,x1x2=3t2−91+3k2,且△>0,代入(*)
從而得(1+k2)(3t2-9)-6k2t2+t2(1+3k2)=0,∴3t2-9-9k2+t2=0,
∴t2=94(1+k2),∴t=±32√1+k2,
∴直線l在y軸上的截距為32√1+k2或-32√1+k2.
(Ⅱ)設(shè)△AOB的面積為S,O到直線l的距離為d,則S=12|AB|•d,
而由(1)知d=|t|√k2+1=32,且|AB|=√k2+1•√(x1+x2)2−4x1x2
=√1+k2×√36k2t2(1+3k2)2−4(3t2−9)1+3k2=√k2+11+3k2×3√1+9k2=3√(k2+1)(1+9k2)1+3k2,
∴S=94×√1+4(9k2+1k2)+6≤94×√1+13=3√32,
當(dāng)Smax=32√3時,9k2=1k2,解得k=√33,∴t=±√3,
∴所求直線方程為y=√33x+√3或y=√33x−√3.
點評 本題考查直線在y軸上的截距的求法,考查直線方程的求法,是中檔題,解題時要認(rèn)真審題,注意韋達(dá)定理、根的判別式、點到直線的距離公式和弦長公式、橢圓性質(zhì)的合理運用.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 256 | B. | 258 | C. | 253 | D. | 254 |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 1 | B. | 10 | C. | 5 | D. | 8 |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 等腰三角形 | B. | 直角三角形 | C. | 銳角三角形 | D. | 鈍角三角形 |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com