Question

1．已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t+\sqrt{2}-1\end{array}\right.$（t是參數(shù)），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，Ox為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為p=$\sqrt{2}$cos（θ+$\frac{π}{4}$）．
（Ⅰ）求圓心C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）由直線l上的點(diǎn)向圓C引切線，求切線長的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）圓C的極坐標(biāo)方程為ρ²=ρcosθ-ρsinθ，由此能求出圓C的直角坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）直線l的直角坐標(biāo)方程為y=x+$\sqrt{2}-1$，求出圓心C（$\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}$）到直線l的距離d和圓C的半徑r，切線長的最小值為：$\sqrt{tre8zap^{2}-{r}^{2}}$．

解答 解：（Ⅰ）∵圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=$\sqrt{2}$cos（θ+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}（cosθcos\frac{π}{4}-sinθsin\frac{π}{4}）$=cosθ-sinθ，
∴ρ²=ρcosθ-ρsinθ，
∴圓C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²=x-y，即（x-$\frac{1}{2}$）²+（y+$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{2}$．
（Ⅱ）∵直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t+\sqrt{2}-1\end{array}\right.$（t是參數(shù)），
∴直線l的直角坐標(biāo)方程為y=x+$\sqrt{2}-1$，
圓心C（$\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}$）到直線l的距離d=$\frac{|\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\sqrt{2}-1|}{\sqrt{2}}$=1，圓C的半徑r=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴切線長的最小值為：$\sqrt{qlcjbrm^{2}-{r}^{2}}$=$\sqrt{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的直角坐標(biāo)方程的求法，考查切線長的最小值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用．