Question

17．如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，△PAD為等邊三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，E，F(xiàn)分別為PC和BD的中點．
（1）證明：EF∥平面PAD；
（2）證明：平面PDC⊥平面PAD；
（3）若AB=1，AD=2，求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線面平行的判定定理進行證明即可．
（2）根據(jù)面面垂直的判定定理進行證明即可．
（3）根據(jù)條件求出四棱錐的高，利用棱錐的體積公式進行求解即可．

解答 解：（I）連結(jié)AC，則F也是AC的中點，
又E是PC的中點，∴EF∥PA，
又EF?平面PAD，PA?平面PAD，
∴EF∥平面PAD．…（4分）
（II）∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
CD?平面ABCD，CD⊥AD，
∴CD⊥平面PAD，…（6分）
又CD?平面PCD，
∴平面PDC⊥平面PAD．…（8分）
（III）取AD的中點H，連接PH，
∵△PAD為等邊三角形，∴PH⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
PH?平面PAD，
∴PH⊥平面ABCD．…（10分）
∵AD=2，∴PH=$\sqrt{3}$，
∴V_P-ABCD=$\frac{1}{3}$×$2×1×\sqrt{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．…（12分）

點評 本題主要考查空間直線和直線垂直的判定以及三棱錐體積的計算，根據(jù)相應(yīng)的判定定理以及棱錐的體積公式是解決本題的關(guān)鍵．