Question

3．已知曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2t}\\{y=4{t}^{2}}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），直線l：x-y-1=0．
（1）求曲線C上的點(diǎn)到直線l的距離的最小值；
（2）過點(diǎn)M（0，2）與直線l平行的直線l′與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，試求|MA|+|MB|的值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)曲線C上的點(diǎn)P（2t，4t²），（t為參數(shù)），利用點(diǎn)到直線的距離公式、二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．
（2）曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2t}\\{y=4{t}^{2}}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），化為普通方程：y=x²．與直線l平行的直線l′的斜率k=1，傾斜角為$\frac{π}{4}$．可得直線l′的參數(shù)方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}m}\\{y=2+\frac{\sqrt{2}}{2}m}\end{array}\right.$，（m為參數(shù)），代入拋物線方程化簡可得關(guān)于m的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式即可得出．

解答 解：（1）設(shè)曲線C上的點(diǎn)P（2t，4t²），（t為參數(shù)）．
曲線C上的點(diǎn)P到直線l的距離d=$\frac{|2t-4{t}^{2}-1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{4（t-\frac{1}{4}）^{2}+\frac{3}{4}}{\sqrt{2}}$≥$\frac{3\sqrt{2}}{8}$，當(dāng)且僅當(dāng)t=$\frac{1}{4}$時(shí)取等號(hào)．
∴P$（\frac{1}{2}，\frac{1}{4}）$，曲線C上的點(diǎn)到直線l的距離的最小值為$\frac{3\sqrt{2}}{8}$．
（2）曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2t}\\{y=4{t}^{2}}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），化為普通方程：y=x²．
與直線l平行的直線l′的斜率k=1，傾斜角為$\frac{π}{4}$．
可得直線l′的參數(shù)方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}m}\\{y=2+\frac{\sqrt{2}}{2}m}\end{array}\right.$，（m為參數(shù)），代入拋物線方程可得：m²-$\sqrt{2}$m-4=0，
∴m₁+m₂=$\sqrt{2}$，
∴|MA|+|MB|=|m₁|+|m₂|=|m₁-m₂|=$\sqrt{（{m}_{1}+{m}_{2}）^{2}-4{m}_{1}{m}_{2}}$=$\sqrt{2-4×（-4）}$=3$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、直線與拋物線相交弦長問題、一元二次方程的根與系數(shù)、參數(shù)的幾何意義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．