Question

20．f（x）=e^x，a＜b．試比較f（$\frac{a-b}{2}$）與的$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$大小．

Answer 1

分析 利用作差法，再構(gòu)造函數(shù)，令g（x）=x+2+（x-2）e^x（x＞0），利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可證明．

解答 解：∵f（x）=e^x，a＜b．
f（$\frac{a-b}{2}$）-$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$=$\frac{（b-2+a）+（b-2+a）{e}^{b-a}•{e}^{a}}{2（b-a）}$，
令g（x）=x+2+（x-2）e^x（x＞0），則g′（x）=1+（x-1）e^x．
g^′′（x）=xe^x＞0，∴g′（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，且g′（0）=0，
∴g′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，而g（0）=0，
∴在（0，+∞）上，g（x）＞0．
∵當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）=x+2+（x-2）•e^x＞0，且a＜b，
∴f（$\frac{a-b}{2}$）-$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$＞0，
∴f（$\frac{a-b}{2}$）-$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$＞0，
∴f（$\frac{a-b}{2}$）＞$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$，

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性、比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了分類討論的思想方法、轉(zhuǎn)化與化歸思想方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．