Question

19．已知拋物線y²=2px（p＞0）截直線y=2x-4所得弦長$|{AB}|=3\sqrt{5}$，
（ I）求拋物線的方程；
（ II）設(shè)F是拋物線的焦點，求△ABF的外接圓上的點到直線AB的最大距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2px}\\{y=2x-4}\end{array}\right.$，利用韋達(dá)定理以及弦長公式求解p．得到拋物線的方程即可．
（Ⅱ）由（I） 得A（1，-2），B（4，4），F(xiàn)（1，0）求出△ABF的外接圓的方程，然后求解△ABF的外接圓上的點到直線AB的最大距離．

解答 解 （Ⅰ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2px}\\{y=2x-4}\end{array}\right.$，得4x²-（16+2p）x+16=0，
由根與系數(shù)的關(guān)系得x₁+x₂=$\frac{16+2p}{4}$，x₁x₂=4，
|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{（{{x}_{1}+{x}_{2}）}^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{5}$$\sqrt{（\frac{8+P}{2}）^{2}-16}$=3$\sqrt{5}$，由p＞0，得p=2．
所以拋物線的方程為：y²=4x．
（Ⅱ）由（I） 得A（1，-2），B（4，4），F(xiàn)（1，0）
△ABF的外接圓的方程是$（x-\frac{13}{2}）^{2}+（y+1）^{2}=\frac{125}{4}$，
則△ABF的外接圓上的點到直線AB的最大距離為圓心到直線的距離與半徑的和，即$\frac{10}{\sqrt{5}}+\frac{5\sqrt{5}}{2}$=$\frac{9\sqrt{5}}{2}$．

點評 本題考查拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，圓的方程的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．