Question

已知拋物線：，直線交此拋物線于不同的兩個(gè)點(diǎn)、．

（1）當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，證明為定值；

（2）如果直線過點(diǎn)，過點(diǎn)再作一條與直線垂直的直線交拋物線于兩個(gè)不同點(diǎn)、．設(shè)線段的中點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)為，記線段的中點(diǎn)為．問是否存在一條直線和一個(gè)定點(diǎn)，使得點(diǎn)到它們的距離相等？若存在，求出這條直線和這個(gè)定點(diǎn)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）過點(diǎn)與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)，由得，．

（2）依題意直線的斜率存在且不為零，由（1）得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，代入得，即．

由于與互相垂直，將點(diǎn)中的用代，得．

設(shè)，則消得

由拋物線的定義知存在直線，點(diǎn)，點(diǎn)到它們的距離相等．