Question

14．設(shè)${a_n}=\frac{1}{n}sin\frac{nπ}{25}$，S_n=a₁+a₂+…+a_n，在S₁，S₂，…，S₅₀中，正數(shù)的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 25
• B． 30
• C． 40
• D． 50

Answer 1

分析 由${a_n}=\frac{1}{n}sin\frac{nπ}{25}$可知當(dāng)0＜n≤25時(shí)，a_n≥0，當(dāng)25＜n≤50時(shí)，a_n＜0；再結(jié)合S₁=sin$\frac{π}{25}$＞0，S₅₀＞0，從而判斷即可．

解答 解：∵${a_n}=\frac{1}{n}sin\frac{nπ}{25}$，
∴當(dāng)0＜n≤25時(shí)，a_n≥0，當(dāng)25＜n≤50時(shí)，a_n＜0；
∴S_n在[1，25]上單調(diào)遞增，在（25，50]上單調(diào)遞減；
∵S₁=sin$\frac{π}{25}$＞0，
S₅₀=sin$\frac{π}{25}$+$\frac{1}{2}$sin$\frac{2π}{25}$+…+0+$\frac{1}{26}$sin$\frac{26π}{25}$+$\frac{1}{27}$sin$\frac{27π}{25}$+…+0
=（1-$\frac{1}{26}$）sin$\frac{π}{25}$+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{27}$）sin$\frac{2π}{25}$+…+（$\frac{1}{24}$-$\frac{1}{49}$）sin$\frac{24π}{25}$+0＞0，
∴S₁，S₂，…，S₅₀都是正數(shù)，
故選D．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)列的遞減性的判斷與數(shù)列前n和的求法，同時(shí)考查了三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的應(yīng)用．