Question

2．已知橢圓C的兩焦點F₁（-1，0）和F₂（1，0），P為橢圓上一點，且2|F₁F₂|=|PF₁|+|PF₂|
（1）求橢圓C的方程；
（2）過F₁的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，若△AF₂B的面積為$\frac{12\sqrt{6}}{11}$，求以F₂為圓心且與直線l相切的圓的方程．

Answer 1

分析 （1）通過橢圓的焦點坐標(biāo)可知c=1及橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），利用橢圓定義及2|F₁F₂|=|PF₁|+|PF₂|計算可知a=2，進而利用b²=a²-c²計算可得結(jié)論；
（2）通過（1）可設(shè)直線l方程為：x=ty-1，并與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理、完全平方公式及$\frac{1}{2}$|F₁F₂||y₁-y₂|=$\frac{12\sqrt{6}}{11}$計算可知t=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，進而計算可得結(jié)論．

解答 解：（1）∵橢圓C的兩焦點F₁（-1，0）和F₂（1，0），
∴c=1，橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
又∵2|F₁F₂|=|PF₁|+|PF₂|，
∴4c=2a，即a=2c=2，
∴b²=a²-c²=4-1=3，
∴橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）由（1）易知直線l的斜率存在，設(shè)直線l方程為：x=ty-1，
聯(lián)立直線l與橢圓方程，消去x可知：（4+3t²）y²-6ty-9=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=$\frac{6t}{4+3{t}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{9}{4+3{t}^{2}}$，
∴|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$
=$\sqrt{（\frac{6t}{4+3{t}^{2}}）^{2}-4（-\frac{9}{4+3{t}^{2}}）}$
=$\frac{12\sqrt{1+{t}^{2}}}{4+3{t}^{2}}$，
∴$\frac{1}{2}$|F₁F₂||y₁-y₂|=$\frac{12\sqrt{6}}{11}$，即$\frac{1}{2}$•2•$\frac{12\sqrt{1+{t}^{2}}}{4+3{t}^{2}}$=$\frac{12\sqrt{6}}{11}$，
化簡得：54t⁴+23t²-25=0，
解得：t²=$\frac{1}{2}$或-$\frac{25}{27}$（舍），
∴t=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由對稱性可知只需計算出以F₂為圓心且與直線l：x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$y+1=0相切的圓的方程即可，
該圓半徑r=$\frac{|1+0+1|}{\sqrt{1+\frac{1}{2}}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
于是所求圓的方程為：（x-1）²+y²=$\frac{8}{3}$．

點評 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．