Question

5．已知f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，且f（1）=1，若a，b∈[-1，1]，且a+b≠0，有$\frac{f（a）+f（b）}{a+b}＞0$恒成立．
（1）判斷f（x）在[-1，1]上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；
（2）解不等式f（log₂x）＜f（log₄3x）的解集；
（3）若f（x）≤m²-2am+1對(duì)所有的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）直接根據(jù)單調(diào)性的定義判斷和證明該函數(shù)為增函數(shù)；
（2）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)列出不等式組解出即可；
（3）問題轉(zhuǎn)化為m²-2am+1≥f（x）_max，再構(gòu)造函數(shù)并通過(guò)分類討論求范圍．

解答 解：（1）f（x）在[-1，1]上為增函數(shù)，證明如下：
任取x₁，x₂滿足-1≤x₁＜x₂≤1，由f（x）為奇函數(shù)，
∴$\frac{{f（{x_2}）-f（{x_1}）}}{{{x_2}-{x_1}}}=\frac{{f（{x_2}）+f（-{x_1}）}}{{{x_2}+（-{x_1}）}}$，
又因?yàn)閍，b∈[-1，1]，且a+b≠0，都有$\frac{f（a）+f（b）}{a+b}＞0$，
∴$\frac{{f（{x_2}）-f（{x_1}）}}{{{x_2}-{x_1}}}=\frac{{f（{x_2}）+f（-{x_1}）}}{{{x_2}+（-{x_1}）}}$＞0，
∵x₂-x₁＞0，∴f（x₂）-f（x₁）＞0，
所以f（x）在[-1，1]上為增函數(shù)；
（2）原不等式等價(jià)于：
$-1≤{log_2}x≤1⇒\frac{1}{2}≤x≤2$，----------------------①
$-1≤{log_4}3x≤1⇒\frac{1}{12}≤x≤\frac{4}{3}$，--------------------②
${log_2}x＜{log_4}3x⇒{log_2}x＜{log_2}\sqrt{3x}⇒0＜x＜3$------③
綜合以上三式得，原不等式解集為：$\{x|\frac{1}{2}≤x≤\frac{4}{3}\}$；
（3）f（x）在[-1，1]遞增，則f（x）_max=f（1），
∴m²-2am+1≥f（x）_max，即m²-2am≥0對(duì)a∈[-1，1]恒成立，
記關(guān)于a的函數(shù)g（a）=-2m•a+m²，-1≤a≤1，
問題等價(jià)為：g（a）_min≥0在a∈[-1，1]上恒成立，
①當(dāng)m=0時(shí)，g（a）=0滿足，
②當(dāng)m＜0時(shí)，g（a）遞增，令g（a）_min=g（-1）≥0⇒m≤-2；
③當(dāng)m＞0時(shí)，g（a）遞減，令g（a）_min=g（1）≥0⇒m≥2，
綜合以上討論得，實(shí)數(shù)m的取值范圍為：（-∞，-2]∪{0}∪[2，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了抽象函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，不等式恒成立問題的解法，屬于中檔題．