Question

20．如圖，已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別是A₁B₁，CC₁的中點(diǎn)，過(guò)D₁，E，F(xiàn)作平面D₁EGF交BB₁于G．給出以下五個(gè)結(jié)論：
①EG∥D₁F；
②BG=3GB₁；
③平面D₁EGF⊥平面CDD₁C₁；
④直線D₁E與FG的交點(diǎn)在直線B₁C₁上；
⑤幾何體ABGEA₁-DCFD₁的體積為$\frac{41}{6}$．其中正確的結(jié)論有①②④⑤（填上所有正確結(jié)論的序號(hào)）

Answer 1

分析 ①利用面面平行的性質(zhì)定理即可判斷出正誤；
②如圖所示，取BB₁的中點(diǎn)M，連接A₁M，F(xiàn)M．則四邊形A₁D₁FM是平行四邊形，再利用三角形的中位線定理可得G是B₁M的中點(diǎn)，即可判斷出正誤；
③由A₁D₁⊥平面CDD₁C₁，可得平面A₁D₁FM⊥平面CDD₁C₁，即可判斷出正誤；
④直線D₁E與FG的交點(diǎn)既在平面A₁B₁C₁D₁上，又在平面BCC₁B₁上，因此在平面A₁B₁C₁D₁與平面BCC₁B₁的交線上，即可判斷出正誤；
⑤先計(jì)算三棱臺(tái)B₁EG-C₁D₁F的體積V₁．利用幾何體ABGEA₁-DCFD₁的體積為=${V}_{正方體A{C}_{1}}$-V₁，即可判斷出正誤

解答 解：對(duì)于①，∵平面ABB₁A₁∥平面DCC₁D₁，平面D₁EGF∩平面ABB₁A₁=EG，平面D₁EGF∩平面DCC₁D₁=D₁F，∴EG∥D₁F；
對(duì)于②，如圖所示，取BB₁的中點(diǎn)M，連接A₁M，F(xiàn)M．則四邊形A₁D₁FM是平行四邊形，∴A₁M∥D₁F，∴A₁M∥EG，又點(diǎn)E是A₁B₁的中點(diǎn)，
∴G是B₁M的中點(diǎn)，∴BG=3GB₁；
對(duì)于③，∵A₁D₁⊥平面CDD₁C₁，∴平面A₁D₁FM⊥平面CDD₁C₁，可得平面D₁EGF與平面CDD₁C₁不可能垂直，因此不正確；
對(duì)于④，直線D₁E與FG的交點(diǎn)既在平面A₁B₁C₁D₁上，又在平面BCC₁B₁上，因此在平面A₁B₁C₁D₁與平面BCC₁B₁的交線B₁C₁上，正確；
對(duì)于⑤，∵${S}_{△F{C}_{1}{D}_{1}}$=$\frac{1}{2}×2×1$=1，${S}_{△{B}_{1}EG}$=$\frac{1}{2}×1×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$，高B₁C₁=2，∴三棱臺(tái)B₁EG-C₁D₁F的體積V₁=$\frac{1}{3}×2×（1+\sqrt{1×\frac{1}{4}}+\frac{1}{4}）$=$\frac{7}{6}$．
∴幾何體ABGEA₁-DCFD₁的體積為=${V}_{正方體A{C}_{1}}$-V₁=2³-$\frac{7}{6}$=$\frac{41}{6}$，因此正確．
故答案為：①②④⑤．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間線面面面位置關(guān)系及其判定方法、三棱臺(tái)的體積計(jì)算公式，考查了空間想象能力、推理能力，屬于中檔題．