Question

12．已知直線l過點(diǎn)P（1，2），分別與x、y軸交于點(diǎn)A（a，0），B（0，b），O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）若直線l在x軸上的截距是在y軸上的截距的一半，求直線l的方程；
（2）若a＞0，b＞0，求a+b的最小值，并求最小值時，直線l的方程；
（3）若a＞0，b＞0，求|PA|•|PB|的最小值，并求最小值時，直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）若a=b=0，則直線l的方程為：y=2x．當(dāng)a，b中只有一個為0時，不符合題意．當(dāng)ab≠0時，由題意可得直線l的方程為：$\frac{x}{a}+\frac{y}$=1，把（1，2）代入可得：$\frac{1}{a}+\frac{2}$=1，又a=$\frac{1}{2}$b，聯(lián)立解得即可．
（2）由a＞0，b＞0，由（1）可得：$\frac{1}{a}+\frac{2}$=1，變形為a+b=（a+b）$（\frac{1}{a}+\frac{2}）$，展開利用基本不等式的性質(zhì)即可得到．
（3）設(shè)∠OAB=θ，$θ∈（0，\frac{π}{2}）$．可得a=1+$\frac{2}{tanθ}$，b=2+tanθ，由于|PA|•|PB|=$\frac{2}{sinθ}$$•\frac{1}{cosθ}$=$\frac{4}{sin2θ}$≥4，即可得出．

解答 解：（1）若a=b=0，則直線l的方程為：y=2x．當(dāng)a，b中只有一個為0時，不符合題意，舍去．
當(dāng)ab≠0時，由題意可得直線l的方程為：$\frac{x}{a}+\frac{y}$=1，
把（1，2）代入可得：$\frac{1}{a}+\frac{2}$=1，又a=$\frac{1}{2}$b，聯(lián)立解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直線l的方程為：$\frac{x}{2}+\frac{y}{4}=1$．
（2）∵a＞0，b＞0，由（1）可得：$\frac{1}{a}+\frac{2}$=1，
∴a+b=（a+b）$（\frac{1}{a}+\frac{2}）$=3+$\frac{a}+\frac{2a}$$≥3+2\sqrt{\frac{a}×\frac{2a}}$=3+2$\sqrt{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)b=$\sqrt{2}$a=2+$\sqrt{2}$時取等號，
∴此時直線l的方程為：$\frac{x}{\sqrt{2}+1}+\frac{y}{2+\sqrt{2}}$=1，化為$\sqrt{2}x$+y-$（2+\sqrt{2}）$=0．
（3）設(shè)∠OAB=θ，$θ∈（0，\frac{π}{2}）$．
a=1+$\frac{2}{tanθ}$，b=2+tanθ，
|PA|•|PB|=$\frac{2}{sinθ}$$•\frac{1}{cosθ}$=$\frac{4}{sin2θ}$≥4，當(dāng)且僅當(dāng)$θ=\frac{π}{4}$時取等號．
∴a=3，b=3．
∴直線l的方程為：x+y=3．

點(diǎn)評 本題考查了直線的截距式、基本不等式的性質(zhì)、三角函數(shù)換元方法，考查了分類討論思想方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．