Question

欲修建一橫斷面為等腰梯形（如圖）的水渠，為降低成本必須盡量減少水與渠壁的接觸面，若水渠橫斷面面積設(shè)計為定值S，渠深h，則水渠壁的傾角α（0°＜α＜90°）應(yīng)為多大時，方能使修建成本最低？

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,直線與圓

分析：作BE⊥DC于E，令y=AD+DC+BC，由已知可得y=

S

h

+

h(2-cosα)

sinα

（0°＜α＜90°），令u=

2-cosα

sinα

，求出u取最小值時α的大小，可得結(jié)論．

解答： 解：作BE⊥DC于E，

在Rt△BEC中，BC=

h

sinα

，CE=hcotα，
又AB-CD=2CE=2hcotα，AB+CD=

2S

h

，
故CD=

S

h

-hcotα．
設(shè)y=AD+DC+BC，
則y=

S

h

-hcotα+

2h

sinα

=

S

h

+

h(2-cosα)

sinα

（0°＜α＜90°），
由于S與h是常量，欲使y最小，只需u=

2-cosα

sinα

取最小值，
u可看作（0，2）與（-sinα，cosα）兩點連線的斜率，
由于α∈（0°，90°），
點（-sinα，cosα）在曲線x²+y²=1（-1＜x＜0，0＜y＜1）上運動，

當過（0，2）的直線與曲線相切時，直線斜率最小，
此時切點為（-

3

2

，

1

2

），
則有sinα=

3

2

，且cosα=

1

2

，
那么α=60°，
故當α=60°時，修建成本最低．

點評：本題考查的知識點是函數(shù)的最值，直線與圓的位置關(guān)系，其中求出水與渠壁的接觸面y的解析式，將實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，是解答的關(guān)鍵．