Question

15．如圖1所示，四邊形ABCD為直角梯形，∠ABC=90°，AD∥BC，E、F分別在邊AD，BC上，且EF∥AB，AD=2AE=2AB=4FC=4，將四邊形ABCD沿EF折成一個(gè)如圖2所示的幾何體．
（1）求證：在該幾何體中，BC∥平面DAE；
（2）若在該幾何體中AD=AE，求一面角C-BD-F的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由題設(shè)可證明BF∥平面DAE，CF∥平面DAE，可證平面BCF∥平面DAE，即可證明BC∥平面DAE．
（2）取AE中點(diǎn)O，連接DO，則DO⊥平面ABEF，從而建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz，得D，F(xiàn)，B點(diǎn)坐標(biāo)，由∠CFB=∠DEA=60°可得C點(diǎn)坐標(biāo)，從而可求$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{BF}$，$\overrightarrow{BD}$坐標(biāo)，設(shè)平面BDC和平面BDF的法向量分別為$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），$\overrightarrow{n}$=（x₂，y₂，z₂），由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}{x}_{1}+\frac{\sqrt{3}}{2}{z}_{1}=0}\\{{x}_{1}+2{y}_{1}+\sqrt{3}{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{2{x}_{2}=0}\\{{x}_{2}+2{y}_{2}+\sqrt{3}{z}_{2}=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{m}$=（1，1，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{n}$=（0，$\sqrt{3}$，-2），即由cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$求二面角C-BD-F的余弦值．

解答 解：（1）證明：∵由題設(shè)可知BF∥AE，CF∥DE，
∴從而B(niǎo)F∥平面DAE，CF∥平面DAE，
∵BF和CF在平面BCF內(nèi)，
∴平面BCF∥平面DAE．
又∵BC?平面BCF，
∴BC∥平面DAE…5分
（2）由條件可知AE=DE，若AD=AE，則△ADE為等邊三角形，取AE中點(diǎn)O，連接DO，則DO⊥AE．
∵EF⊥AE，EF⊥DE，∴EF⊥平面ADE，∴EF⊥DO，∴DO⊥平面ABEF，
從而可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz．
由AD=AE=DE=BF=AB=EF=AB=2，F(xiàn)C=1，易得D（0，0，$\sqrt{3}$），F(xiàn)（1，-2，0），B（-1，-2，0），由∠CFB=∠DEA=60°可得C（$\frac{1}{2}$，-2，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）
所以$\overrightarrow{BC}$=（$\frac{3}{2}$，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{BF}$=（2，0，0），$\overrightarrow{BD}$=（1，2，$\sqrt{3}$），
設(shè)平面BDC和平面BDF的法向量分別為$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），$\overrightarrow{n}$=（x₂，y₂，z₂），
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}{x}_{1}+\frac{\sqrt{3}}{2}{z}_{1}=0}\\{{x}_{1}+2{y}_{1}+\sqrt{3}{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{2{x}_{2}=0}\\{{x}_{2}+2{y}_{2}+\sqrt{3}{z}_{2}=0}\end{array}\right.$，
可取$\overrightarrow{m}$=（1，1，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{n}$=（0，$\sqrt{3}$，-2），
所以cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{5}×\sqrt{7}}$=$\frac{3\sqrt{105}}{35}$．
故二面角C-BD-F的余弦值是：$\frac{3\sqrt{105}}{35}$…12分

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與平面平行的判定，二面角的平面角及求法，考查了空間想象能力和推論論證能力，屬于中檔題．