Question

4．數(shù)列{a_n}定義如下：a₁=2，a_n+1²=2a_n²+a_na_n+1，a_n＞0，n∈N^*
（1）求a_n的通項公式；
（2）設b_n=（1-a_n）²-a（1-a_n），n∈N^*，求證：當a＞-4時，總有b_n+1＞b_n．

Answer 1

分析 （1）由數(shù)列遞推式推得數(shù)列{a_n}是以a₁=2為首項，以2為公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項公式得答案；
（2）把a_n的通項公式代入b_n=（1-a_n）²-a（1-a_n），n∈N^*，把b_n+1、b_n作差，然后借助于二次函數(shù)證明b_n+1＞b_n．

解答 （1）解：由${{a}_{n+1}}^{2}=2{{a}_{n}}^{2}+{a}_{n}{a}_{n+1}$，得${{a}_{n+1}}^{2}-{{a}_{n}}^{2}={a}_{n}（{a}_{n+1}+{a}_{n}）$，
即（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n）=a_n（a_n+1+a_n），
∵a_n＞0，∴a_n+1-a_n=a_n，即a_n+1=2a_n，
則數(shù)列{a_n}是以a₁=2為首項，以2為公比的等比數(shù)列，
則${a}_{n}={a}_{1}{q}^{n-1}={2}^{n}$；
（2）證明：b_n=（1-a_n）²-a（1-a_n）=（1-2ⁿ）²-a（1-2ⁿ）=（1-2ⁿ）（1-2ⁿ-a），
$_{n+1}-_{n}=（1-{2}^{n+1}）（1-{2}^{n+1}-a）$-（1-2ⁿ）（1-2ⁿ-a）
=3•（2ⁿ）²+（a-2）•2ⁿ．
令t=2ⁿ≥2，
則y=b_n+1-b_n=3•（2ⁿ）²+（a-2）•2ⁿ=3t²+（a-2）t，
對稱軸方程為t=$\frac{2-a}{6}$，若a＞-4，則t＜1，y在[2，+∞）上為增函數(shù)，
又當t=2時，y=8+2a＞0．
∴y=b_n+1-b_n＞0．
即當a＞-4時，總有b_n+1＞b_n．

點評 本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等比關系的確定，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，訓練了作差法證明數(shù)列不等式，是中檔題．