Question

10．過雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點F作一條直線，當直線傾斜角為$\frac{π}{6}$時，直線與雙曲線左、右兩支各有一個交點，當直線傾斜角為$\frac{π}{3}$時，直線與雙曲線右支有兩個不同的交點，則雙曲線離心率的取值范圍為（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，2）．

Answer 1

分析 要使直線與雙曲線的右支有兩個交點，需使雙曲線的其中一漸近線方程的斜率小于直線的斜率，即$\frac{a}$＜tan60°=$\sqrt{3}$，求得a和b的不等式關系，進而根據b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$，化成a和c的不等式關系，求得離心率的一個范圍；再由當直線傾斜角為$\frac{π}{6}$時，直線與雙曲線左、右兩支各有一個交點，可得$\frac{a}$＞tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，同樣可得e的范圍，最后綜合可得求得e的范圍．

解答 解：當直線傾斜角為$\frac{π}{3}$時，直線與雙曲線右支有兩個不同的交點，
需使雙曲線的其中一漸近線方程的斜率小于直線的斜率，
即$\frac{a}$＜tan60°=$\sqrt{3}$，
即b＜$\sqrt{3}$a，
∵b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$
∴$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$＜$\sqrt{3}$a，
整理得c＜2a，
∴e=$\frac{c}{a}$＜2；
當直線傾斜角為$\frac{π}{6}$時，直線與雙曲線左、右兩支各有一個交點，
可得$\frac{a}$＞tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即有b＞$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
由 $\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$＞$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
整理得c＞$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，
∴e=$\frac{c}{a}$＞$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
綜上可得$\frac{2\sqrt{3}}{3}$＜e＜2．
故答案為：（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，2）．

點評 本題主要考查了雙曲線的簡單性質．在求離心率的范圍時，注意雙曲線的離心率與直線的斜率的關系，考查運算能力，屬于中檔題．