Question

（本小題滿分12分）設函數（其中為自然對數的底數，），曲線在點處的切線方程為.

（1）求；

（2）若對任意，有且只有兩個零點，求的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）實數的取值范圍為.

【解析】

試題分析：（1）求導，再由條件，從而可求得；

（2）由（1）得，，因此需對的取值分以下三種

情況分類討論：①當時，要使得在上有且只有兩個零點，只需，

②當時，求導確定零點個數，

③當時，求導確定零點個數.

試題解析：（1）， 2分

∵，，∴； 3分

（2）由（1）得，，

①當時，由得，由得，此時在上單調遞減，在上單調遞增，∵，

（或當時，亦可）∴要使得在上有且只有兩個零點，

則只需，即， 6分

②當時，由得或；由得.此時在上單調遞減，在和上單調遞增， 此時，∴此時在至多只有一個零點，不合題意， 9分

③當時，由得或，由得，此時在和上單調遞增，在上單調遞減，且，∴在至多只有一個零點，不合題意.

綜上所述，實數的取值范圍為. 12分

考點：1.利用導數研究曲線上某點切線方程；2.函數的零點；3.分類討論的數學思想.