Question

16．設雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左焦點為F（-c，0）（c＞0），P為雙曲線C右支上的一點，線段PF與圓x²+y²+$\frac{2c}{3}$x+$\frac{a^2}{9}$=0相切于點Q，且$\overrightarrow{PF}$+3$\overrightarrow{FQ}$=$\overrightarrow 0$，則雙曲線C的離心率為$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 運用對應邊成比例，可得QC∥PE，再由雙曲線的定義，以及直線和圓相切的性質，運用勾股定理和離心率公式，建立方程關系即可得到結論．

解答 解：圓的標準方程為（x+$\frac{c}{3}$）²+y²=$\frac{{c}^{2}}{9}$-$\frac{a^2}{9}$=$\frac{^{2}}{9}$，
則圓心坐標D（-$\frac{c}{3}$，0），半徑R=$\frac{3}$，
則$\frac{FD}{FE}$=$\frac{c-\frac{c}{3}}{2c}=\frac{\frac{2}{3}}{2}$=$\frac{1}{3}$，
∵$\overrightarrow{PF}$+3$\overrightarrow{FQ}$=$\overrightarrow 0$，
∴$\overrightarrow{PF}$=3$\overrightarrow{QF}$，
∴|$\overrightarrow{PF}$|=3|$\overrightarrow{QF}$|，
∴$\frac{QF}{PF}$=$\frac{1}{3}$
即$\frac{FD}{FE}$=$\frac{QF}{PF}$=$\frac{1}{3}$，
則QD∥PE，
則PF=3QD=3×$\frac{3}$=b，
∵直線PF與圓（x+$\frac{c}{3}$）²+y²=$\frac{^{2}}{9}$，相切于點Q，
∴QC⊥PF，
則PE⊥PF，
則PF=$\sqrt{F{E}^{2}-P{E}^{2}}$=$\sqrt{4{c}^{2}-^{2}}$，
由雙曲線的定義可得，|PF|-|PE|=2a，
即$\sqrt{4{c}^{2}-^{2}}$-b=2a，
即$\sqrt{4{c}^{2}-^{2}}$=2a+b，
平方得4c²-b²=4a²+4ab+b²，
即4c²-4a²-2b²=4ab，
即4b²-2b²=4ab，
即2b²=4ab，
則b=2a，c²=5a²，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$．
故答案為：$\sqrt{5}$

點評 本題考查雙曲線的定義和性質，考查離心率的求法，考查直線和圓相切的條件，以及中位線定理和勾股定理的運用，考查運算能力，利用數(shù)形結合是解決本題的關鍵．