Question

12．已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=log₂（x+1）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在定義域R上的解析式；
（Ⅱ）解關(guān)于x的不等式f（2x-1）＞1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)x＜0，則-x＞0，根據(jù)條件以及函數(shù)的奇偶性求得f（x）的解析式，可得結(jié)論．
（Ⅱ）由題意可得 f（x）在在（-∞，0）上單調(diào)遞減，且f（-1）=1，由不等式f（2x-1）＞1，可得 2x-1＞1，或2x-1＜-1，由此求得x的范圍．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)x＜0，則-x＞0，∵當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=log₂（x+1），∴f（-x）=log₂（-x+1）．
∵f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，∴f（-x）=log₂（-x+1）=f（x），即f（x）=log₂（-x+1）．
綜上可得，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{log}_{2}（x+1），x≥0}\\{{log}_{2}（-x+1），x＜0}\end{array}\right.$．
（Ⅱ）∵f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，且f（1）=1，
∴f（x）在在（-∞，0）上單調(diào)遞減，且f（-1）=1，
∵關(guān)于x的不等式f（2x-1）＞1，∴2x-1＞1，或2x-1＜-1，求得x＞1，或 x＜0，
故原不等式的解集為{x|x＞1，或x＜0}．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式，以及解不等式，屬于基礎(chǔ)題．