Question

7．已知函數(shù)f（x）=2sinωx$（{\sqrt{3}cosωx+sinωx}）（{x∈R}）$的圖象的一條對(duì)稱軸為x=π，其中ω為常數(shù)，且$ω∈（{\frac{1}{3}，1}）$．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若$f（{\frac{6}{5}A}）=3，b+c=3$，求a的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運(yùn)用二倍角的正弦和余弦公式，及兩角差的正弦公式，結(jié)合正弦函數(shù)的對(duì)稱軸，可得ω，再由周期公式，可得所求周期；
（Ⅱ）由條件f（$\frac{6}{5}$A）=3，化簡(jiǎn)計(jì)算可得A，再由余弦定理，結(jié)合配方和基本不等式，即可得到a的最小值．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=2sinωx$（{\sqrt{3}cosωx+sinωx}）（{x∈R}）$
=$\sqrt{3}$（2sinωxcosωx）+2sin²ωx=$\sqrt{3}$sin2ωx-cos2ωx+1
=1+2sin（2ωx-$\frac{π}{6}$），
圖象的一條對(duì)稱軸為x=π，則2ωπ-$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，即ω=$\frac{k}{2}$+$\frac{1}{3}$．k∈Z，
由$ω∈（{\frac{1}{3}，1}）$，可得ω=$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$=$\frac{5}{6}$，
則函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2ω}$=$\frac{6π}{5}$；
（Ⅱ）由f（x）=2sin（$\frac{5}{3}$x-$\frac{π}{6}$）+1，
f（$\frac{6}{5}$A）=2sin（$\frac{5}{3}$×$\frac{6}{5}$A-$\frac{π}{6}$）+1=3，則有sin（2A-$\frac{π}{6}$）=1，
A∈（0，π），即有2A-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{11π}{6}$）．
則2A-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，可得A=$\frac{π}{3}$，
在△ABC中，a²=b²+c²-2bccos$\frac{π}{3}$=（b+c）²-3bc
≥（b+c）²-3（$\frac{b+c}{2}$）²=$\frac{（b+c）^{2}}{4}$=$\frac{9}{4}$，
當(dāng)且僅當(dāng)b=c=$\frac{3}{2}$時(shí)，a的最小值為$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的恒等變換公式的運(yùn)用，同時(shí)考查正弦函數(shù)的周期公式和三角形的余弦定理的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．