Question

8．求f（x）=$\frac{1}{3}$ax³+$\frac{1}{2}$（a-1）x²-x+1的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，從而求出f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：f′（x）=ax²+（a-1）x-1=（ax-1）（x+1），
a＞0時(shí)，令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{a}$或x＜-1，
令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜$\frac{1}{a}$，
∴f（x）在（-∞，-1）遞增，在（-1，$\frac{1}{a}$）遞減，在（$\frac{1}{a}$，+∞）遞增；
a=0時(shí)，f（x）=-$\frac{1}{2}$x²-x+1，對(duì)稱軸x=-1，f（x）在（-∞，-1）遞增，在（-1，+∞）遞減；
-1＜a＜0時(shí)，$\frac{1}{a}$＜-1，
令f′（x）＞0，解得：$\frac{1}{a}$＜x＜-1，令f′（x）＜0，解得：x＞-1或x＜$\frac{1}{a}$，
∴f（x）在（-∞，$\frac{1}{a}$）遞減，在（$\frac{1}{a}$，-1）遞增，在（-1，+∞）遞減；
a=-1時(shí)，f′（x）≤0，f（x）在R單調(diào)遞減；
a＜-1時(shí)，-1＜$\frac{1}{a}$＜0，
令f′（x）＞0，解得：-1＜x＜$\frac{1}{a}$，令f′（x）＜0，解得：x＜-1或x＞$\frac{1}{a}$，
∴f（x）在（-∞，-1）遞減，在（-1，$\frac{1}{a}$）遞增，在（$\frac{1}{a}$，+∞）遞減．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，分類討論思想，是一道中檔題．