Question

如圖，已知銳角∠AOB=2α內(nèi)有動(dòng)點(diǎn)P，PM⊥OA，PN⊥OB，且四邊形PMON的面積等于常數(shù)c²，今以O(shè)為極點(diǎn)，∠AOB的角平分線(xiàn)OX為極軸，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的極坐標(biāo)方程，并說(shuō)明它表示什么曲線(xiàn)．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)P的極點(diǎn)坐標(biāo)為（ρ，θ），進(jìn)而可分別）∠POM，∠NOM，OM，PM，ON，PN．根據(jù)四邊形PMON的面積公式可得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的極坐標(biāo)方程化簡(jiǎn)后用x=ρcosθ，y=ρsinθ化為直角坐標(biāo)方程上式為即可得到答案．
解答：解：設(shè)P的極點(diǎn)坐標(biāo)為（ρ，θ），
∴∠POM=α-θ，∠NOM=α+θ，
OM=ρcos（α-θ），PM=ρsin（α-θ），
ON=ρcos（α+θ），PN=ρsin（α+θ），
四邊形PMON的面積
[cos（α-θ）sin（α-θ）+cos（α+θ）sin（α+θ）]
依題意，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的極坐標(biāo)方程是：
[cos（α-θ）sin（α-θ）+cos（α+θ）sin（α+θ）]=c²
用倍角公式化簡(jiǎn)得[sin2（α-θ）+sin2（α+θ）]=c²
用和差化積公式化簡(jiǎn)得sin2αcos2θ=c²
即．
用x=ρcosθ，y=ρsinθ化為直角坐標(biāo)方程上式為
．即．
這個(gè)方程表示雙曲線(xiàn)由題意，
動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是雙曲線(xiàn)右面一支在∠AOB內(nèi)的一部分．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了根據(jù)極點(diǎn)坐標(biāo)求軌跡的方程問(wèn)題．此類(lèi)題常涉及三角函數(shù)的問(wèn)題，故應(yīng)熟練記憶三角函數(shù)的公式．