Question

設(shè)f（x）滿足f（-sinx）+3f（sinx）=4sinx•cosx（|x|≤

π

2

）．
（1）求f（x）的表達式；
（2）求當(dāng)x取何值時，f（x）取最大值，并求出最大值．

Answer 1

考點：函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：方程思想,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由已知，用sinx代替-sinx，得到關(guān)于f（sinx）方程組，求出f（sinx），即得f（x）；
（2）求出0≤x≤1時f（x）的最大值以及對應(yīng)的x的值即可．

解答： 解：（1）∵f（-sinx）+3f（sinx）=4sinx•cosx…①，
∴f（sinx）+3f（-sinx）=-4sinx•cosx…②；
①×3-②得，
8f（sinx）=16sinx•cosx，
又∵|x|≤

π

2

，
∴cosx=

1-sin2x

，
∴f（x）=2x

1-x2

（-1≤x≤1）；
（2）∵對0≤x≤1，把函數(shù)f（x）=2x

1-x2

化為
f（x）=2

x2(1-x2)

=2

-x4+x2

=2

-(x2- 1 2 )2+ 1 4

，
令x²=

1

2

，則x=

2

2

，或x=-

2

2

（舍），
∴當(dāng)x=

2

2

時，f（x）有最大值是f（x）_max=f（

2

2

）=1．

點評：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用問題，也考查了求函數(shù)最值的問題，解題時應(yīng)用方程思想，求出方程組的解，是中檔題．