Question

20．已知圓C：x²+y²+2x-4y+3=0．
（1）直線l過點（-2，0）且被圓C截得的弦長為2，求直線l的方程；
（2）從直線2x-4y+3=0上一點P向圓引一條切線，切點為M，求|PM|的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直線l過點（-2，0）且被圓C截得的弦長為2，可得圓心C到l的距離，分類討論，求出直線的斜率，即得直線的方程．
（2））|PM|=$\sqrt{|CP{|}^{2}-2}$，求|PM|的最小值，即求出|PC|的最小值．

解答 解：（1）圓C的方程可化為（x+1）²+（y-2）²=2．
∵直線l過點（-2，0）且被圓C截得的弦長為2，
∴圓心C到l的距離為d=$\sqrt{2-1}$=1．
l的斜率不存在時，直線x=-2，滿足題意；
l的斜率存在時，設(shè)l：y=k（x+2），即kx-y+2k=0，
 圓心C到l的距離d=$\frac{|-k-2+2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1
∴k=$\frac{3}{4}$，∴l(xiāng)：3x-4y+6=0．
綜上所述，直線l的方程x=-2或3x-4y+6=0；
（2）|PM|=$\sqrt{|CP{|}^{2}-2}$，∴求|PM|的最小值，即求出|PC|的最小值．
|PC|的最小值為C到直線2x-4y+3=0的距離$\frac{|-2-8+3|}{\sqrt{4+16}}$=$\frac{7\sqrt{5}}{10}$．
∴|PM|_min=$\sqrt{|CP{|}^{2}-2}$=$\sqrt{\frac{49}{20}-2}$=$\frac{3\sqrt{5}}{10}$．

點評 本題考查直線和圓相交的性質(zhì)，點到直線的距離公式、以及弦長公式的應(yīng)用，屬于中檔題．