Question

6．已知正三角形ABC的邊長為2，點D，E分別在邊AB，AC上，且$\overrightarrow{AD}$=λ$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AE}$=λ $\overrightarrow{AC}$．若點F為線段BE的中點，點O為△ADE的重心，則$\overrightarrow{OF}$•$\overrightarrow{CF}$=0．

Answer 1

分析 如圖，根據(jù)向量的加減法運算法則，及重心的性質(zhì)，用$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$表示$\overrightarrow{OF}$、$\overrightarrow{CF}$，再根據(jù)正三角形ABC的邊長為2，進(jìn)行數(shù)量積運算即可．

解答 解：連AO并延長交DE于G，如圖，
∵O是△ADE的重心，∴DG=GE，
∴$\overrightarrow{AG}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AD}）$，∴$\overrightarrow{AO}$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{AG}$=$\frac{1}{3}（\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AD}）$，
又$\overrightarrow{AD}$=λ$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AE}$=λ$\overrightarrow{AC}$，∴$\overrightarrow{AO}$=$\frac{λ}{3}$（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$），
顯然$\overrightarrow{OF}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OE}）$，$\overrightarrow{CF}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CE}）$，
又$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AO}$=（1-$\frac{λ}{3}$）$\overrightarrow{AB}$-$\frac{λ}{3}$$\overrightarrow{AC}$，
$\overrightarrow{OE}$=$-\overrightarrow{EO}$=-$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{EA}$+$\overrightarrow{ED}$）=-$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{EA}$+$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AE}$）=$\frac{1}{3}$（$-\overrightarrow{AD}+2\overrightarrow{AE}$）=-$\frac{λ}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2λ}{3}$$\overrightarrow{AC}$，
∴2$\overrightarrow{OF}$=（1-$\frac{2λ}{3}$）$\overrightarrow{AB}$+$\frac{λ}{3}$$\overrightarrow{AC}$，
∵$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{CE}$=$\overrightarrow{AE}$-$\overrightarrow{AC}$=（λ-1）$\overrightarrow{AC}$，
∴$\overrightarrow{CF}$=$\frac{1}{2}$[$\overrightarrow{AB}$+（λ-2）$\overrightarrow{AC}$]，
又正三角形ABC的邊長為2，
∴|$\overrightarrow{AB}$|²=|$\overrightarrow{AC}$|²=4，∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=2$，
∴2$\overrightarrow{OF}•\overrightarrow{CF}$=[（1-$\frac{2λ}{3}$）$\overrightarrow{AB}$+$\frac{λ}{3}$$\overrightarrow{AC}$]•$\frac{1}{2}$[$\overrightarrow{AB}$+（λ-2）$\overrightarrow{AC}$]
=$\frac{1}{2}${（1-$\frac{2λ}{3}$）$\overrightarrow{AB}$²+[$\frac{λ}{3}$+（1-$\frac{2λ}{3}$）（λ-2）$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$+$\frac{λ}{3}$（λ-2）${\overrightarrow{AC}}^{2}$}
=$\frac{1}{2}[\frac{3-2λ}{3}{\overrightarrow{AB}}^{2}-2×\frac{2{λ}^{2}-8λ+6}{3}+\frac{{λ}^{2}-2λ}{3}{\overrightarrow{AC}}^{2}]$
=$\frac{1}{2}×$$\frac{4（3-2λ）-2（2{λ}^{2}-8λ+6）+4（{λ}^{2}-2λ）}{3}$
=$\frac{12-8λ-4{λ}^{2}+16λ-12+4{λ}^{2}-8λ}{6}$
=0．
（本題還可以用特殊值法或建立坐標(biāo)系的方法來解決）

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積的計算，解題時要注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用，屬于中檔題．