Question

16．負(fù)項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)是a₁，公比為q（q≠1），前n項(xiàng)和為S_n，且5S₂=4S₄，且b_n=q+S_n，若數(shù)列{b_n}成等比數(shù)列，則當(dāng)T_n=2qb_n²+a₁b_n+1取得最小值時(shí)n的值為2．

Answer 1

分析 由題意易得公比q=$\frac{1}{2}$，進(jìn)而可得b_n的通項(xiàng)公式，代入T_n，由二次函數(shù)的最值可得．

解答 解：由題意可得$\frac{5{a}_{1}（1-{q}^{2}）}{1-q}$=$\frac{4{a}_{1}（1-{q}^{4}）}{1-q}$，解得q=$\frac{1}{2}$或q=-$\frac{1}{2}$，
顯然當(dāng)q=-$\frac{1}{2}$時(shí)，數(shù)列不是負(fù)項(xiàng)等比數(shù)列，應(yīng)舍去，∴q=$\frac{1}{2}$，
∴b_n=q+S_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{{a}_{1}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{2}$+（2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$）a₁，
∴b₁=$\frac{1}{2}$+a₁，b₂=$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{2}$a₁，b₃=$\frac{1}{2}$+$\frac{7}{4}$a₁，
∵數(shù)列{b_n}成等比數(shù)列，∴b₂²=b₁b₃，
代入可得（$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{2}$a₁）²=（$\frac{1}{2}$+a₁）（$\frac{1}{2}$+$\frac{7}{4}$a₁）
解得a₁=-$\frac{1}{4}$，∴b_n=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$（2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$）=$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=2qb_n²+a₁b_n+1=（$\frac{1}{{2}^{n+1}}$）²-$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{{2}^{n+1}}$）+1，
由二次函數(shù)的知識(shí)可知當(dāng)$\frac{1}{{2}^{n+1}}$=$-\frac{-\frac{1}{4}}{2×1}$=$\frac{1}{{2}^{3}}$即n=2時(shí)T_n取最小值．
故答案為：2

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，涉及二次函數(shù)的最值，屬中檔題．