Question

13．實數(shù)x，y滿足圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（x+1）²+（y-2）²=4
（Ⅰ）求$\frac{y}{x-4}$的最小值；
（Ⅱ）求定點（1，0）到圓上點的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）$\frac{y}{x-4}$表示的意義是圓上的點到E（4，0）這個點的連線的斜率，作出圖形結(jié)合數(shù)形結(jié)合法能求出$\frac{y}{x-4}$的最小值．
（Ⅱ）求出圓的參數(shù)方程，利用兩點間距離公式和三角函數(shù)性質(zhì)能求出定點（1，0）到圓上點（-1+2cosθ，2+2sinθ）的距離的最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵實數(shù)x，y滿足圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（x+1）²+（y-2）²=4，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+2cosθ}\\{y=2+2sinθ}\end{array}\right.，0≤θ＜2π$，
∴$\frac{y}{x-4}=\frac{2+2sinθ}{-5+2cosθ}$，
∴$\frac{y}{x-4}$表示的意義是圓上的點到E（4，0）這個點的連線的斜率，
那么看圖可以知道圓上任何點和E的連線都落在BE和DE兩條切線之間，
那么其中斜率最小的就是DE這條切線了，
設(shè)DE方程為y=k （ x-4），即kx-4k-y=0，
則O到DE的距離即等于半徑，即$\frac{-k-4k-2}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，解得k=0或k=-$\frac{20}{21}$，即其最小值為-$\frac{20}{21}$．
∴$\frac{y}{x-4}$的最小值為-$\frac{20}{21}$．
（Ⅱ）定點（1，0）到圓上點（-1+2cosθ，2+2sinθ）的距離：
d=$\sqrt{（-1+2cosθ-1）^{2}+（2+2sinθ）^{2}}$
=$\sqrt{4+4co{s}^{2}θ-8cosθ+4+4si{n}^{2}θ+8sinθ}$
=$\sqrt{12+8\sqrt{2}sin（θ-\frac{π}{4}）}$≤$\sqrt{12+8\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}+2$，
∴定點（1，0）到圓上點的最大值為2$\sqrt{2}$+2．

點評 本題考查代數(shù)式的最小值的求法，考查兩點間距離的最大值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意數(shù)形結(jié)合思想、圓的參數(shù)方程、兩點間距離公式的合理運用．