Question

7．把函數(shù)f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2ωx-$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$的圖象向左平移$\frac{π}{4}$個單位，再向下平移$\frac{1}{2}$個單位后，得到函數(shù)g（x）的圖象，已知g（x）的圖象關(guān)于點（$\frac{π}{4}$，0）對稱．
（1）求ω的值；
（2）求函數(shù)g（x）在x∈[0，4π]上的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由條件利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，函數(shù)的圖象的對稱性求得ω的值．
（2）由條件利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)g（x）在x∈[0，4π]上的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（1）把函數(shù)f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2ωx-$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$的圖象向左平移$\frac{π}{4}$個單位，得到y(tǒng)=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin[2ω（x+$\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{4}$]+$\frac{1}{2}$的圖象；
再向下平移$\frac{1}{2}$個單位后，得到函數(shù)g（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin[2ω（x+$\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{4}$]的圖象．
再根據(jù)g（x）的圖象關(guān)于點（$\frac{π}{4}$，0）對稱，可得g（$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin[2ω（$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{4}$]=0，故sin（ωπ-$\frac{π}{4}$）=0，
故ωπ-$\frac{π}{4}$=kπ，k∈Z，∴ω=$\frac{1}{4}$．
（2）由（1）可得g（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin[2•$\frac{1}{4}$•（x+$\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{4}$]=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{8}$），
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{8}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得4kπ-$\frac{3π}{4}$≤x≤4kπ+$\frac{5π}{4}$，故函數(shù)的增區(qū)間為[4kπ-$\frac{3π}{4}$，4kπ+$\frac{5π}{4}$]，k∈Z．
同理，求得函數(shù)的減區(qū)間為[4kπ+$\frac{5π}{4}$，4kπ+$\frac{13π}{4}$]，k∈Z．
根據(jù)x∈[0，4π]，可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為[0，$\frac{5π}{4}$]，[$\frac{13π}{4}$，4π]； 函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為[$\frac{5π}{4}$，$\frac{13π}{4}$]．

點評 本題主要考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象的對稱性，正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．