Question

17．已知a＞0，命題p：?x＞0，x+$\frac{a}{x}$≥2恒成立，命題q：?k∈R，直線kx-y+2=0與橢圓x²+$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$=1有公共點，求使得p∨q為假命題的實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 求出命題的等價條件，結(jié)合復(fù)合命題之間的關(guān)系進行求解即可．

解答 解：命題p：因為a＞0時，對?x＞0，x+$\frac{a}{x}$≥2$\sqrt{a}$，則2$\sqrt{a}$≥2，即a≥1；
命題q：將直線kx-y+2=0代入橢圓x²+$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$=1得：（k²+a²）x²+4kx+4-a²=0，
則△=4a²（a²+k²-4）≥0，即a²≥-k²+4；
而-k²+4在R上的最大值為4；
∴a²≥4，∵a＞0，∴解得a≥2；
（或者直線kx-y+2=0經(jīng)過定點（0，2），則$0+\frac{4}{a^2}≤1$，
∵a＞0，∴解得a≥2）
則p∨q為假命題時，$\left\{{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{0＜a＜2}\end{array}}\right.$
綜上可得，a的取值范圍是0＜a＜1．

點評 本題主要考查復(fù)合命題的真假關(guān)系的應(yīng)用，根據(jù)條件求出命題的等價條件是解決本題的關(guān)鍵．