Question

4．已知△ABC中，BC=1，AB=$\sqrt{3}$，AC=$\sqrt{6}$，點(diǎn)P是△ABC的外接圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則$\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{BC}$的最大值是（　�。�

• A． 2
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{3}+1$

Answer 1

分析 如圖所示$\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{BC}$=|$\overrightarrow{BP}$|•|$\overrightarrow{BC}$|cos∠PBC=|$\overrightarrow{BP}$|cos∠PBC．設(shè)OP⊙O的半徑，則當(dāng)OP∥BC且同向時(shí)，則$\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{BC}$的取得最大值．再利用正弦定理和余弦定理即可得出、垂徑定理即可得出

解答 解：如圖所示，$\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{BC}$=|$\overrightarrow{BP}$|•|$\overrightarrow{BC}$|cos∠PBC=|$\overrightarrow{BP}$|cos∠PBC．
設(shè)OP為⊙O的半徑，則當(dāng)OP∥BC且同向時(shí)，向量$\overrightarrow{BP}$在$\overrightarrow{BC}$方向上的投影最大，則$\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{BC}$取得最大值．
由余弦定理可得：cosA=$\frac{3+6-1}{2×\sqrt{3}×\sqrt{6}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，∴sinA=$\frac{1}{3}$．
∴2R=$\frac{BC}{sinA}$=3．
∴|$\overrightarrow{BP}$|cos∠PBC=|BD|=$\frac{1}{2}$|BC|+R=2．
∴$\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{BC}$取得最大值為2．
故選：A

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算、向量的投影、正弦定理和余弦定理、垂徑定理等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．