Question

10．已知函數(shù)f（x）=lnx-x．
（1）求函數(shù)f（x）的圖象在x=1處的切線方程；
（2）證明：|f（x）|＞$\frac{lnx}{x}$；
（3）設(shè)m＞n＞0，比較$\frac{f（m）+m-[f（n）+n]}{m-n}$與$\frac{m}{{m}^{2}+{n}^{2}}$的大小，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點(diǎn)，即可得到所求切線的方程；
（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，可得最大值-1，即有|f（x）|的最小值；求得g（x）=$\frac{lnx}{x}$的導(dǎo)數(shù)，求出最大值，即可得證；
（3）將兩數(shù)作差可得$\frac{1}{m-n}$[ln$\frac{m}{n}$-$\frac{（\frac{m}{n}）^{2}-\frac{m}{n}}{（\frac{m}{n}）^{2}+1}$]，設(shè)t=$\frac{m}{n}$（t＞1），即有h（t）=lnt-$\frac{{t}^{2}-t}{{t}^{2}+1}$，求出導(dǎo)數(shù)，判斷符號(hào)，可得單調(diào)性，即可得到大小關(guān)系．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=lnx-x的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{1}{x}$-1，
可得函數(shù)f（x）的圖象在x=1處的切線斜率為k=0，
切點(diǎn)為（1，-1），
可得切線的方程為y=-1；
（2）證明：f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{1}{x}$-1，
由f（x）在x＞1遞減，在0＜x＜1遞增，可得
f（x）在x=1處取得極大值，且為最大值-1，
即有|f（x）|≥1；
又g（x）=$\frac{lnx}{x}$，導(dǎo)數(shù)g′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$
由g（x）在x＞e遞減，在0＜x＜e時(shí)遞增，
可得g（x）在x=e處取得極大值，且為最大值$\frac{1}{e}$，
則|f（x）|＞$\frac{lnx}{x}$成立；
（3）$\frac{f（m）+m-[f（n）+n]}{m-n}$=$\frac{lnm-lnn}{m-n}$，
可得$\frac{f（m）+m-[f（n）+n]}{m-n}$-$\frac{m}{{m}^{2}+{n}^{2}}$
=$\frac{1}{m-n}$[（lnm-lnn）-$\frac{{m}^{2}-mn}{{m}^{2}+{n}^{2}}$]
=$\frac{1}{m-n}$[ln$\frac{m}{n}$-$\frac{（\frac{m}{n}）^{2}-\frac{m}{n}}{（\frac{m}{n}）^{2}+1}$]，
設(shè)t=$\frac{m}{n}$（t＞1），即有h（t）=lnt-$\frac{{t}^{2}-t}{{t}^{2}+1}$，
h′（t）=$\frac{1}{t}$-$\frac{{t}^{2}+2t-1}{（1+{t}^{2}）^{2}}$=$\frac{{t}^{3}（t-1）+t+1}{t（1+{t}^{2}）^{2}}$＞0，
則h（t）在t＞1遞增，可得h（t）＞h（1）=0，
即有$\frac{f（m）+m-[f（n）+n]}{m-n}$-$\frac{m}{{m}^{2}+{n}^{2}}$＞0，
即$\frac{f（m）+m-[f（n）+n]}{m-n}$＞$\frac{m}{{m}^{2}+{n}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題看出導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查不等式的證明，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，求得最值，考查兩數(shù)大小比較，注意運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用單調(diào)性，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．