Question

5．已知拋物線關于x軸對稱，它的頂點在坐標原點O，若點M（-2，y）在拋物線上，且點M到該拋物線焦點的距離為3，
（1）求拋物線的標準方程及點M的坐標．
（2）過點C（-3，$\frac{1}{2}$）做直線l，使得直線l與拋物線相交于A，B兩點．恰好C為弦AB的中點，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意可設拋物線的方程為：y²=2px（p＜0）．由于點M（-2，y）到該拋物線焦點F的距離為3，可得2-$\frac{P}{2}$=3，解得p即可得出，再代值計算即可求出M的坐標，
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用點差法和中點坐標公式即可求出直線AB的斜率，再根據(jù)點斜式方程即可求出答案．

解答 解：（1）由題意可設拋物線的方程為：y²=2px（p＜0）．
∵點M（-2，y）到該拋物線焦點F的距離為3，
∴2-$\frac{P}{2}$=3，解得p=-2．
∴拋物線的方程為：y²=-4x，
∵點M（-2，y）在拋物線上，
∴y²=8，
∴y=$±2\sqrt{2}$，
∴M（-2，2$\sqrt{2}$），或（-2，-2$\sqrt{2}$）
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴y₁²=-4x₁，y₂²=-4x₂，
∴y₁²-y₂²=（y₁-y₂）（y₁+y₂）=-4（x₁-x₂）
∵C（-3，$\frac{1}{2}$），恰好C為弦AB的中點，
∴y₁+y₂=2×$\frac{1}{2}$=1，
∴k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-4，
∴直線方程為y-$\frac{1}{2}$=-4（x+3），即8x+2y+23=0．

點評 本題考查了拋物線的標準方程及其性質(zhì)、焦半徑公式、以及點差法求出直線的斜率，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．