Question

設(shè)x，y，z∈R₊，x²+y²+z²=1，則S=

(1+z)2

2xyz

的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：由題意可得1-z²=x²+y²，根據(jù)基本不等式x²+y²≥2xy，化簡即可．

解答： 解：由題意可得，0＜z＜1，0＜1-z＜1
S=

(1+z)2

2xyz

≥

(1+z)2

(x2+y2)z

=

(1+z)2

(1-z2)z

=

1+z

(1-z)z

，
令t=1+z＞1，則S=

t

-t2+3t-2

=

1

3-(t+ 2 t )

≥

1

3-2 2

=3+2

2

．
故答案為：3+2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查基本不等式的應(yīng)用、配湊法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．