Question

18．已知向量$\overrightarrow{a}$=（x-1，3），$\overrightarrow$=（1，y），其中x，y都為正實數(shù)，若$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow$，則$\frac{1}{x}+\frac{1}{3y}$的最小值為（　�。�

• A． 2
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． 4
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 $\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow$，可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0，即x+3y=1．再利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)就得出．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow$，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=x-1+3y=0，即x+3y=1．
又x，y為正數(shù)，
則$\frac{1}{x}+\frac{1}{3y}$=（x+3y）$（\frac{1}{x}+\frac{1}{3y}）$=2+$\frac{3y}{x}$+$\frac{x}{3y}$≥2+2$\sqrt{\frac{3y}{x}•\frac{x}{3y}}$=4，當且僅當x=3y=$\frac{1}{2}$時取等號．
∴$\frac{1}{x}+\frac{1}{3y}$的最小值為4．
故選：C．

點評 本題考查了向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．